物理学 gt 量子力学 gt オブザーバブル gt 軌道角運動量 軌道角運動量 きどうかくうんどうりょう 英語 orbital angular momentum とは 特に量子力学において 位置とそれに共役な運動量の積で表される角運動量のことである より一般的には 空間を伝播する波の自由度とされる 量子力学の文脈においての軌道角運動は 原子中の電子ついていうことが多い ただし かつての原子核の周囲の軌道上を電子が天体のような公転運動する描像は現在では支持されていないことに注意すべきである 電子の全角運動量のうち 電子がその性質として持つスピン角運動量を除く部分が軌道角運動量である 空間を飛び交う電子についても軌道角運動量は見積もられ らせん状に伝播する電子ビームなどが研究されている 概要定義 軌道角運動量演算子は以下のように定義される L L x L y L z iℏ y z z y iℏ z x x z iℏ x y y x displaystyle hat boldsymbol L hat L x hat L y hat L z left i hbar left y frac partial partial z z frac partial partial y right i hbar left z frac partial partial x x frac partial partial z right i hbar left x frac partial partial y y frac partial partial x right right 定義に至る背景 この定義は 古典力学における角運動量の定義L x p displaystyle boldsymbol L boldsymbol x times boldsymbol p において 位置 x と運動量 p を形式的に位置演算子x x y z x y z displaystyle hat boldsymbol x hat x hat y hat z x cdot y cdot z cdot x は x を乗じる事を意味する と運動量演算子の組p p x p y p z iℏ x iℏ y iℏ z displaystyle hat boldsymbol p hat p x hat p y hat p z i hbar partial over partial x i hbar partial over partial y i hbar partial over partial z に置き換える事で得られたものである 一般化 より一般に 3次元空間の単位ベクトル n n1 n2 n3 に対し 内積L n n L n1L x n2L y n3L z displaystyle hat L boldsymbol n boldsymbol n cdot hat boldsymbol L n 1 hat L x n 2 hat L y n 3 hat L z を n を回転軸とする軌道角運動量演算子という 性質交換関係 x1 x2 x3 x y z displaystyle x 1 x 2 x 3 x y z と表記すると 軌道角運動量は以下の交換関係を満たす L i x j iℏeijkx k displaystyle hat L i hat x j i hbar varepsilon ijk hat x k L i p j iℏeijkp k displaystyle hat L i hat p j i hbar varepsilon ijk hat p k L i L j iℏeijkL k displaystyle hat L i hat L j i hbar varepsilon ijk hat L k ここで eijk はエディントンのイプシロンである 特に最後の軌道角運動量同士の交換関係の形はと呼ばれている 極座標表示 球面座標 r 8 f を用いると ˆ L は L x L y L z iℏ sin f 8 cot 8cos f f iℏ cos f 8 cot 8sin f f iℏ f displaystyle hat L x hat L y hat L z left i hbar left sin varphi partial over partial theta cot theta cos varphi partial over partial varphi right i hbar left cos varphi partial over partial theta cot theta sin varphi partial over partial varphi right i hbar partial over partial varphi right と書ける さらに球面座標表示した曲線 R r r 0 0 8 8 0 8 0 F f 0 0 f の原点における接線方向の単位ベクトルを er e8 ef とするとき er e8 ef 方向の軌道角運動量演算子 ˆ Lr ˆ L8 ˆ Lf とすると 以下が成立する Lr 0 displaystyle L r 0 L8 iℏ1sin 8 ϕ displaystyle L theta i hbar frac 1 sin theta frac partial partial phi Lϕ iℏ 8 displaystyle L phi i hbar frac partial partial theta 軌道角運動量の自乗定義 軌道角運動量の二乗をL2 L x 2 L y 2 L z 2 displaystyle hat boldsymbol L 2 hat L x 2 hat L y 2 hat L z 2 と定義する 交換関係 この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である L2 L x L2 L y L2 L z 0 displaystyle hat boldsymbol L 2 hat L x hat boldsymbol L 2 hat L y hat boldsymbol L 2 hat L z 0 極座標表示 極座標で書き表すと L2 ℏ2 1sin 8 8 sin 8 8 1sin2 8 2 f2 displaystyle hat boldsymbol L 2 hbar 2 left frac 1 sin theta frac partial partial theta left sin theta frac partial partial theta right frac 1 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 right である ラプラシアンとの関係 実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある すなわちラプラシアンを極座標表示して D 1r2 Dr DS displaystyle Delta 1 over r 2 Delta r Delta S と動径方向と球面方向にわけると Dr r r2 r displaystyle Delta r frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right DS 1ℏ2L2 displaystyle Delta S 1 over hbar 2 hat boldsymbol L 2 が成立する 回転対称性との関係波動関数の回転 3次元空間 R3 における回転行列全体の集合をSO 3 R displaystyle mathrm SO 3 R 3次元実数係数行列で tRR I detR gt 0 displaystyle t RR I det R gt 0 とし ここでI は単位行列であり tR は R の転置行列である 回転行列 R SO 3 に対し 波動関数の全体の空間 L2 R3 displaystyle L 2 mathbf R 3 上にユニタリ演算子l R L2 R3 L2 R3 displaystyle lambda R L 2 mathbf R 3 to L 2 mathbf R 3 ϕ x ϕ R 1x displaystyle phi boldsymbol x mapsto phi R 1 boldsymbol x を定義すると これは波動関数の 回転 とみなせる軌道角運動量演算子との関係 単位ベクトル n x y z に対 し Rn s を n を軸として右手系に s ラジアンだけ回転する行列とすると 以下が成立する L n ps displaystyle hat L boldsymbol n psi iℏddsl Rn s ps s 0 displaystyle i hbar left mathrm d over mathrm d s lambda R boldsymbol n s psi right s 0 ここでL n displaystyle hat L boldsymbol n は n を回転軸とする軌道角運動量演算子である 証明 本節ではL n displaystyle hat L boldsymbol n がz 軸の周りの軌道角運動量 ˆ Lz の場合のみ証明するがそれ以外の場合も同様である 既に述べたようにˆ Lz は球面座標系 r 8 f を用いてL z iℏ f displaystyle hat L z i hbar partial over partial varphi と表記できるので 任意の波動関数ps に対し ps を極座標表示すれば iℏ dd sl R 0 0 1 s ps s 0 ps r 8 f displaystyle i hbar left operatorname d over operatorname d s lambda R 0 0 1 s psi Bigg s 0 right psi r theta varphi iℏdd sps r 8 f s s 0 displaystyle i hbar operatorname d over operatorname d s psi r theta varphi s Bigg s 0 iℏ fps r 8 f displaystyle i hbar partial over partial varphi psi r theta varphi L zps r 8 f displaystyle hat L z psi r theta varphi となり 主張が証明できた 回転対称性からみた交換関係 Rn s の微分を計算すると d R s d s s 0 0 zyz0 x yx0 Fn displaystyle left operatorname d R s over operatorname d s right s 0 begin pmatrix 0 amp z amp y z amp 0 amp x y amp x amp 0 end pmatrix F boldsymbol n となる 関数 l を l d R s d s s 0 ps dd sl R s ps s 0 displaystyle lambda left left operatorname d R s over operatorname d s right s 0 right psi left operatorname d over operatorname d s lambda R s psi right s 0 が任意の波動関数 ps と SO 3 に値を取る任意の R 8 に対して成立するよう定義する 詳細は省くがこのような関数はwell definedに定義可能である と l F G l F l G displaystyle lambda F G lambda F lambda G が成立する事が知られている よって L x L y iℏ 2l F 1 0 0 l F 0 1 0 iℏ 2l F 1 0 0 F 0 1 0 displaystyle left hat L x hat L y right i hbar 2 lambda F 1 0 0 lambda F 0 1 0 i hbar 2 lambda F 1 0 0 F 0 1 0 すなわち軌道角運動量の交換関係は Fn の交換関係から導かれたものである Fn は以下を満たす事が知られている ここで はクロス積である Fx Fy Fx y displaystyle F boldsymbol x F boldsymbol y F boldsymbol x times boldsymbol y よって軌道角運動量の交換関係は L x L y iℏ 2l F 1 0 0 F 0 1 0 iℏ 2l F 1 0 0 0 1 0 iℏ iℏl F 0 0 1 iℏL z displaystyle left hat L x hat L y right i hbar 2 lambda F 1 0 0 F 0 1 0 i hbar 2 lambda F 1 0 0 times 0 1 0 i hbar cdot i hbar lambda F 0 0 1 i hbar hat L z である これは前の節で述べた交換関係と一致する 他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる 球面調和関数詳細は 球面調和関数 を参照 後の節で述べるように 軌道角運動量演算子の固有関数は球面調和関数で記述可能なので 本節ではその準備として 球面調和関数の定義と性質を述べる なお 球面調和関数の定義は数学と物理学とで異なるので 本節では両方の定義を紹介し 両者の関係も述べる 数学における球面調和関数 3次元空間R3 における多項式p でDp 0 displaystyle Delta p 0 を満たすものを調和多項式といい 調和多項式p がℓ displaystyle ell 次の斉次多項式であるとき を球面S2 x R3 x 1 displaystyle S 2 boldsymbol x in mathbf R 3 mid boldsymbol x 1 に制限したものをℓ displaystyle ell 次の球面調和関数という 物理学における球面調和関数 3次元空間 R3 の場合 R3 を球面座標 r 8 f で表す 下記の関数 Yℓ m 8 f displaystyle Y ell m theta varphi を 物理学における 球面調和関数という Yℓ m 8 ϕ 1 m m 22ℓ 14p ℓ m ℓ m Pℓ m cos 8 eimϕ displaystyle Y ell m theta phi 1 m m 2 sqrt frac 2 ell 1 4 pi frac ell m ell m P ell m cos theta e im phi B1 ここで m は整数で ℓ displaystyle ell はℓ m displaystyle ell geq m B2 であり Pℓm t displaystyle P ell m t はルジャンドルの陪多項式 Pℓm t 12ℓ 1 t2 m2 j 1 ℓ m 2 1 j 2ℓ 2j j ℓ j ℓ 2j m tℓ 2j m displaystyle P ell m t 1 over 2 ell 1 t 2 m over 2 sum j 1 lfloor ell m 2 rfloor 1 j 2 ell 2j over j ell j ell 2j m t ell 2j m B3 である すなわち Pℓm t displaystyle P ell m t はルジャンドルの陪微分方程式 1 t y t 2ty t ℓ ℓ 1 m21 z2 0 displaystyle 1 t y t 2ty t left ell ell 1 m 2 over 1 z 2 right 0 の解である なお Yℓ m 8 f displaystyle Y ell m theta varphi の定義における係数は 後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである 2つの定義の関係 関数 f を f r 8 f rℓYℓ m 8 f displaystyle f r theta varphi r ell Y ell m theta varphi と定義すると f を直交座標で書いたもの は数学におけるℓ displaystyle ell 次の球面調和関数になる また p を数学におけるℓ displaystyle ell 次の球面調和関数とすると p の極座標は必ず p r 8 f m ℓℓamrℓYℓ m 8 f displaystyle p r theta varphi sum m ell ell a m r ell Y ell m theta varphi という形の線形和で書ける これらの事実の証明は球面調和関数の項目を参照されたい 性質 3次元空間R3 の球面座標 r 8 f に対し dxdydz r2sin 8drd8df displaystyle mathrm d x mathrm d y mathrm d z r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi が成立する そこで R 上の関数 x 3 と3 次元空間 R3 の単位球面 S2 x y z R3 x2 y2 z2 1 displaystyle S 2 x y z in mathbf R 3 mid x 2 y 2 z 2 1 上の2 つの可積分関数 f g に対し 内積を以下のように定義する x 3 R x r 3 r r2dr displaystyle langle chi xi rangle R int infty infty chi r xi r r 2 mathrm d r f g S2 S2f x g x sin 8fd8 displaystyle langle f g rangle S 2 int S 2 f boldsymbol x g boldsymbol x sin theta varphi mathrm d theta このとき次の定理が成立する 定理の導出の詳細は球面調和関数の項目を参照 定理1 球面調和関数は以下の性質を満たす Yℓm Yjs Sn 1 1if ℓ j m s0otherwise displaystyle langle Y ell m Y j s rangle S n 1 begin cases 1 amp text if ell j m s 0 amp text otherwise end cases 定理2 R3 上の任意の自乗可積分関数f x y z に対し xℓ m xℓ m R lt displaystyle langle chi ell m chi ell m rangle R lt infty を満たす R 上の可積分関数の族 xℓ m r displaystyle chi ell m r で f r 8 f m 0 ℓ mmxℓ m r Yℓ m 8 ϕ displaystyle f r theta varphi sum m 0 infty sum ell m m chi ell m r Y ell m theta phi となるものが一意に存在する 軌道角運動量の二乗の固有関数数学における球面調和関数p はL2 displaystyle hat boldsymbol L 2 の固有関数である L2 p x ℏ2ℓ ℓ 1 p x displaystyle hat boldsymbol L 2 p boldsymbol x hbar 2 ell ell 1 p boldsymbol x A1 ここでℓ displaystyle ell は球面調和関数p の次数である なお x x displaystyle chi boldsymbol x を動径方向の任意の自乗可積分関数とすると 上式から明らかにL2 x x p x ℏ2ℓ ℓ 1 x x p x displaystyle hat boldsymbol L 2 chi boldsymbol x p boldsymbol x hbar 2 ell ell 1 chi boldsymbol x p boldsymbol x であるので x x p x displaystyle chi boldsymbol x p boldsymbol x もL2 displaystyle hat boldsymbol L 2 の固有関数である 既に述べたように数学における球面調和関数は物理学における球面調和関数Yℓm 8 ϕ displaystyle Y ell m theta phi の線形和で書けるので 定理2より L2 displaystyle hat boldsymbol L 2 の固有関数は上述の形のものに限られる A1 の証明 既に述べたようにラプラシアンの極座標表示は D 1r2 Dr DS displaystyle Delta 1 over r 2 Delta r Delta S と動径方向と球面方向にわけると Dr r r2 r displaystyle Delta r frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right DS 1ℏ2L2 displaystyle Delta S 1 over hbar 2 hat boldsymbol L 2 が成立するので p をℓ displaystyle ell 次の球面調和関数とすると L2 p x ℏ2Drp x ℏ2r2Dℏ2p x displaystyle hat boldsymbol L 2 p boldsymbol x hbar 2 Delta r p boldsymbol x hbar 2 r 2 Delta hbar 2 p boldsymbol x ℏ2Drp x displaystyle hbar 2 Delta r p boldsymbol x ベクトルx は動径方向 r x displaystyle r boldsymbol x と球面方向 x x displaystyle boldsymbol x over boldsymbol x に分解でき しかもp はℓ displaystyle ell 次の斉次多項式であるので Drp x p x x Drrℓ displaystyle Delta r p boldsymbol x p left boldsymbol x over boldsymbol x right Delta r r ell p x x r r2 r rℓ displaystyle p left boldsymbol x over boldsymbol x right frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right r ell p x x ℓ ℓ 1 rℓ displaystyle p left boldsymbol x over boldsymbol x right cdot ell ell 1 r ell ℓ ℓ 1 p x displaystyle ell ell 1 p boldsymbol x 軌道角運動量の直交座標成分の固有関数ˆ Lz を物理学における球面調和関数Yℓm 8 f に作用させると L zYℓm 8 ϕ mℏYℓm 8 ϕ displaystyle hat L z Y ell m theta phi m hbar Y ell m theta phi 定理1より Yℓm 8 ϕ displaystyle Y ell m theta phi は S2 上の面積要素 sin 8 d8 df に関して規格化されている Yℓm 8 ϕ displaystyle Y ell m theta phi は互いに直交している 定理2より ˆ Lz と ˆ L 2 の任意の自乗可積分関数は球面調和関数を用いて固有値展開可能である量子数 これまでの記述から分かるように L2 psℓ m ℓ ℓ 1 ℏ2psℓ m displaystyle hat boldsymbol L 2 psi ell m ell ell 1 hbar 2 psi ell m L zpsℓ m mℏpsℓ m displaystyle hat L z psi ell m m hbar psi ell m を満たすpsℓ m displaystyle psi ell m が存在し 必要ならpsℓ m displaystyle psi ell m を定数倍すれば psℓ m Yℓ m displaystyle psi ell m Y ell m が成立する ℓ displaystyle ell を軌道角運動量量子数 方位量子数 m は軌道磁気量子数という 前節で述べたように ℓ 0 1 2 displaystyle ell 0 1 2 ldots m 0 1 2 ℓ displaystyle m 0 pm 1 pm 2 ldots pm ell を満たす 昇降演算子定義 昇降演算子を L L x iL y displaystyle hat L hat L x i hat L y L L x iL y displaystyle hat L hat L x i hat L y により定義する 以下この2つを合わせて L displaystyle hat L pm と略記する 性質 簡単な計算から交換関係 L z L ℏL displaystyle hat L z hat L pm pm hbar hat L pm を満たすので ps を固有値mħ に対するˆ Lz の固有関数とすると 次の式が成りたつ L z L ps L L zps L z L ps m 1 ℏ L ps displaystyle hat L z hat L pm psi hat L pm hat L z psi hat L z hat L pm psi m pm 1 hbar hat L pm psi したがって L ps はˆ Lz の固有関数であり その固有値は m 1 ħ である すなわち 昇降演算子はmħ に対応する固有関数を m 1 ħ に対応する固有関数に移す よって特に Yℓ m L mYℓ 0 displaystyle Y ell m L m Y ell 0 定数 が成立する その他の性質 x x iy displaystyle x x iy x x iy displaystyle x x iy とするとT10 p211 212 交換関係 L x 0 displaystyle hat L pm x pm 0 L x 2iℏz displaystyle hat L pm x mp pm 2i hbar z L z x iℏx displaystyle hat L z x pm pm i hbar x pm L2 x iℏ 2 1 i x 2iℏx L z ℏzL displaystyle hat boldsymbol L 2 x pm i hbar 2 1 mp i x pm pm 2i hbar x pm hat L z hbar z hat L pm が成立することが簡単な計算から分かる 証明 最後の式だけ確認すると L L iℏ displaystyle hat L pm hat L pm i hbar L w L w iℏ displaystyle hat L w hat L w i hbar for w x y z L2 L2 iℏ 2 displaystyle hat boldsymbol L 2 hat boldsymbol L 2 i hbar 2 とすると L2 x L x iL y L x iL y x iL y L x x iL x L y x L z 2x L L x i L x L y x L z 2x displaystyle hat boldsymbol L 2 x pm hat L x i hat L y hat L x i hat L y x pm i hat L y hat L x x pm i hat L x hat L y x pm hat L z 2 x pm hat L mp hat L pm x pm i hat L x hat L y x pm hat L z 2 x pm L L x iL z x L z 2x displaystyle hat L mp hat L pm x pm i hat L z x pm hat L z 2 x pm ここでL L x x L L L L x L x L displaystyle hat L mp hat L pm x pm x pm hat L mp hat L pm hat L mp hat L pm x pm hat L mp x pm hat L pm x L L 2zL displaystyle x pm hat L mp hat L pm mp 2z hat L pm iL z x ix L z i L z x displaystyle i hat L z x pm ix pm hat L z i hat L z x pm ix L z ix displaystyle ix pm hat L z mp ix pm L z 2x x L z 2 L z L z x L z x L z displaystyle hat L z 2 x pm x pm hat L z 2 hat L z hat L z x pm hat L z x pm hat L z x L z 2 2 L z x L z L z L z x displaystyle x pm hat L z 2 2 hat L z x pm hat L z hat L z hat L z x pm x L z 2 2x L z x displaystyle x pm hat L z 2 pm 2x pm hat L z x pm dd なので求めるべき式が従う 工学的応用電磁波 光を含む が軌道角運動量を持ち これが異なると 同一周波数かつ同一の方角からの送信であっても特別な受信装置では 少なくともごく短距離において 混信を免れることが判明しており 光渦多重通信もしくは軌道角運動量多重通信という 伝送距離の上限などを改善して各種無線通信のほか光ファイバー通信への応用を目指す研究がなされている 脚注 脚注の使い方 注釈 理由 l は準同型であり l がリー環so 3 に誘導するリー環準同型がl であるのでl はリー括弧を保存する 出典 Saitoh Uchida a b 原 1994 p 98 武藤 amp 11 14 p 6 a b 武藤 amp 11 15 p 13 Hall 2013 p 396 Alvarado 2007 p 37 Alvarado 2007 p 36 日本測地学会 2004 参考文献 軌道角運動量をもつ電子ビーム PDF 2023年11月2日 閲覧 原康夫 5 量子力学 岩波書店 岩波基礎物理シリーズ 1994年6月6日 ISBN 978 4000079259 L D ランダウ E M リフシッツ 著 好村滋洋 井上健男 訳 ランダウ リフシッツ物理学小教程 量子力学 ちくま学芸文庫 2008年6月10日 Alvarado Joṥe 2007年12月4日 Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics PDF 2016年12月1日 閲覧 Hall Brian C 2013 7 1 Quantum Theory for Mathematicians Graduate Texts in Mathematics 267 Springer Teschl Gerald 2010 Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators Graduate Texts in Mathematics 157 SECOND EDITION ed Springer 高知大学自然科学系 田部井隆雄 神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫 京都大学大学院理学研究科 福田洋一 2004年 4 4 ルジャンドルの多項式 陪多項式 日本測地学会 2017年1月4日 閲覧 武藤一雄 第14章 軌道角運動量 pdf 量子力学第二 平成23年度 学部 5学期 東京工業大学 2017年8月13日 閲覧 武藤一雄 第15章中心力ポテンシャルでの束縛状態 pdf 量子力学第二 平成23年度 学部 5学期 東京工業大学 2017年8月13日 閲覧 関連項目水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解 電子配置 光渦多重通信, ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム、モバイル、電話、Android、iOS、Apple、携帯電話、Samsung、iPhone、Xiomi、Xiaomi、Redmi、Honor、Oppo、Nokia、Sonya、MI、PC、ウェブ、コンピューター