正十二面体 せいじゅうにめんたい 英 regular dodecahedron は正多面体の1つ 空間を正五角形12枚で囲んだ凸多面体 正十二面体種別正多面体 十二面体面形状12枚の正五角形辺数30頂点数20頂点形状53シュレーフリ記号 5 3 ワイソフ記号3 2 5対称群Ih双対多面体正二十面体特性凸集合展開図テンプレートを表示正十二面体投影図 辺心図 性質ねじれ双五角錐の両頭頂点を切った立体 Truncated pentagonal trapezohedron の 特殊な形 向かい合う面は平行である 正十二面体の一辺と外接立方体の一辺の比はおよそ 1 2 618 二面角 116 56505 arccos 1 5 展開図の数は43380種類 面の数は12 辺の数は30 頂点の数は20 頂点形状は正三角錐であり 3本の辺と3枚の正五角形が集まる これらはパスカルの三角形の第4段の2 3番目の数字に等しい 正二十面体と双対である 計量面の面積 A 1425 105a2 displaystyle A 1 over 4 sqrt 25 10 sqrt 5 a 2 A 145 4ϕ 3 a2 displaystyle A 1 over 4 sqrt 5 4 phi 3 a 2 表面積 S 12A 325 105a2 displaystyle S 12A 3 sqrt 25 10 sqrt 5 a 2 S 12A 35 4ϕ 3 a2 displaystyle S 12A 3 sqrt 5 4 phi 3 a 2 体積 V 13Sr 14 15 75 a3 displaystyle V frac 1 3 Sr 1 over 4 15 7 sqrt 5 a 3 V 13Sr 12 7ϕ 4 a3 displaystyle V frac 1 3 Sr 1 over 2 7 phi 4 a 3 最長対角線の長さ d 12 15 3 a displaystyle d 1 over 2 sqrt 15 sqrt 3 a d 3ϕa displaystyle d sqrt 3 phi a 外接球半径 R d2 14 15 3 a displaystyle R frac d 2 1 over 4 sqrt 15 sqrt 3 a R 123ϕa displaystyle R 1 over 2 sqrt 3 phi a 内接球半径 r 25 11540a displaystyle r sqrt 25 11 sqrt 5 over 40 a r 3ϕ 224ϕ 3a displaystyle r 3 phi 2 over 2 sqrt 4 phi 3 a 頂点 辺 面の座標以下は 標準的な座標の取り方の一つである ここで ϕ displaystyle phi は黄金比 1 52 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 ϵ1 ϵ2 ϵ3 1 displaystyle epsilon 1 epsilon 2 epsilon 3 pm 1 である 20個の頂点 原点からの距離 3 displaystyle sqrt 3 の座標 ϵ1 ϵ2 ϵ3 displaystyle epsilon 1 epsilon 2 epsilon 3 の8個 0 ϵ2ϕ ϵ3ϕ 1 displaystyle 0 epsilon 2 phi epsilon 3 phi 1 のxyz座標を偶置換した 12個30個の辺 長さ2ϕ 1 displaystyle 2 phi 1 の 両端点および中心の座標両端点 ϵ1 ϵ2 ϵ3 displaystyle epsilon 1 epsilon 2 epsilon 3 と 0 ϵ2ϕ ϵ3ϕ 1 displaystyle 0 epsilon 2 phi epsilon 3 phi 1 中心 12 ϵ1 ϵ2ϕ2 ϵ3ϕ displaystyle frac 1 2 epsilon 1 epsilon 2 phi 2 epsilon 3 phi のxyz座標を偶置換した 24個 両端点 0 ϵ2ϕ ϕ 1 displaystyle 0 epsilon 2 phi phi 1 と 0 ϵ2ϕ ϕ 1 displaystyle 0 epsilon 2 phi phi 1 中心 0 ϵ2ϕ 0 displaystyle 0 epsilon 2 phi 0 のxyz座標を偶置換した 6組12個の面の 反時計回りの頂点および中心の座標頂点 0 ϵ2ϕ ϵ3ϕ 1 displaystyle 0 epsilon 2 phi epsilon 3 phi 1 ϵ2ϵ3 ϵ2 ϵ3 displaystyle epsilon 2 epsilon 3 epsilon 2 epsilon 3 ϵ2ϵ3ϕ 1 0 ϵ3ϕ displaystyle epsilon 2 epsilon 3 phi 1 0 epsilon 3 phi ϵ2ϵ3ϕ 1 0 ϵ3ϕ displaystyle epsilon 2 epsilon 3 phi 1 0 epsilon 3 phi ϵ2ϵ3 ϵ2 ϵ3 displaystyle epsilon 2 epsilon 3 epsilon 2 epsilon 3 中心 ϕ 25 0 ϵ2 ϵ3ϕ displaystyle frac phi 2 5 0 epsilon 2 epsilon 3 phi のxyz座標を偶置換した 12個正十二面体の作り方正十二面体と内接する立方体正十二面体と外接する立方体の直投影図正十二面体を内接立方体から構成する方法がユークリッドの 原論 第13巻に記されている 一松信はこれを 立方体に屋根をかける 方法と呼んでいる これとは逆に 正十二面体を外接立方体から立方体の12の稜を一様に切稜して作る方法が 多面体木工 増補版 佐藤郁郎 中川宏 によって示された それは 正十二面体の投影図 辺心図 が 直交する3方向に現れることに基づいている 投影図は100ミリの立方体から切り取る部分の寸法を示しているが これは黄金比にあたる 切り取る三角形の赤丸の角度が切稜の角度になる 約31 7度である 立方体から正十二面体を作る様子 発泡スチロールカッターを使って立方体から正十二面体を作る様子を示す X軸まわりの切稜Y軸まわりの切稜Z軸まわりの切稜立方体切稜による正十二面体の完成正十二面体の証明 原論 第13巻の定理17の図 ユークリッド原論 第13巻の定理17においては 立方体の一辺を対角線の一つとする五角形のひさしをかけることによって この五角形が等辺にして一平面上にありかつ等角であることが証明されている 正十二面体をつくり 先の図形のように球によってかこみ そして正十二面体の辺がとよばれる無理線分であることを証明すること ユークリッド原論 第13巻の定理17 図に示したように ユークリッド原論 第13巻の定理17の説明にあるギリシア文字をラテン文字に変更して述べると以下のようになる 先に述べた立方体の互いに垂直な二つの面 ABCD CBEF が定められ 辺 AB BC CD DA EF EB FC のおのおのが G H K L M N O において2等分され GK HL MH NO が結ばれ NP PG HQ のおのおのが点 R S T において外中比に分けられ RP PS TQ がそれらの大きい部分とされ 点 R S T から立方体の面に垂直に立方体の外側の方向に RU SV TW が立てられ RP PS TQ に等しくされ UB BW WC CV VU が結ばれたとせよ 五角形 EBWCV は等辺にして一平面上にありかつ等角であると主張する ユークリッド原論 第13巻の定理17星型 小星型十二面体 B 大十二面体 C 大星型十二面体 Dこの図形を枠に持つ立体大星型十二面体 小二重三角二十 十二面体 大二重三角二十 十二面体 二重三角十二 十二面体5個の立方体による複合多面体 5個の正四面体による複合多面体 10個の正四面体による複合多面体派生的な立体切頂十二面体 t 5 3 二十 十二面体 r 5 3 変形十二面体 sr 5 3 五方十二面体 正十二面体と正二十面体による複合多面体近縁となるジョンソンの立体側錐十二面体古代の遺物に見られる正十二面体長野県畦地一号墳出土銀製垂飾付耳飾り おそらく日本最古と思われる正十二面体構造を持つ人工物は 5 6世紀ごろの古墳の副葬品の耳飾りに見出すことができる 同じ大きさの銀製や金銅製の環12個を均等に配置した中空の籠形で 垂らすタイプの耳飾りの中間に用いられた これまでに 群馬県の梁瀬二子塚古墳 千葉県の祇園大塚山古墳 長野県の畦地一号墳 和歌山県の大谷古墳 奈良県の新沢千塚から出土した遺物に確認されている 全く同じではないが似たような構造を持つ耳飾りは朝鮮半島の遺物でも確認されている 関連項目正十二面体サイコロ黄鉄鉱体 スキューブアルティメット 正十二面体の星型一覧 正多面体 ドデカヘドラン メガミンクス 正百二十胞体 ローマの中空十二面体脚注 脚注の使い方 正多面体を解く 東海大学出版会 2002 5 20 多面体木工 特定非営利活動法人 科学協力学際センター 2006 8 1 a b ハイベア amp メンゲ 1971 pp 429 432 ハイベア amp メンゲ 1971 p 429 ハイベア amp メンゲ 1971 pp 429f 高田貫太 アクセサリーの考古学 吉川弘文館 2021年5月1日 参考文献出典は列挙するだけでなく 脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします 2018年6月 4次元以上の空間が見える 2006年5月25日 ISBN 4 86064 118 3 http www beret co jp books detail 233 pp 97 101に正十二面体の対角線の長さを全て求める方法が載っている 一松信 正多面体を解く 東海大学出版会 2002年5月20日 多面体木工 増補版 2011年3月 ISBN 978 4 9905880 0 7 http torito jp shopping tamentaimokko shtml 編 ユークリッド原論 中村幸四郎 寺阪英孝 伊東俊太郎 池田美恵訳 解説 共立出版 全13巻の最初の邦訳 ハードカバー 1971年7月 ISBN 4 320 01072 8 抜粋 世界の名著9 池田美恵訳 中央公論社 1972年 縮刷版 1996年6月 ISBN 4 320 01513 4 追補版 2011年5月 ISBN 978 4 320 01965 2外部リンク発泡スチロールの立方体から正十二面体をつくろう ユークリッド 原論 における正12面体の証明 正12面体のいろいろな計算 対角線 表面積 体積 内接球 外接球 高校数学の美しい物語 Weisstein Eric W Regular Dodecahedron mathworld wolfram com 英語 Weisstein Eric W Dodecahedral Graph mathworld wolfram com 英語 ウィキメディア コモンズには 十二面体に関連するカテゴリがあります この項目は 多面体に関連した書きかけの項目です この項目を加筆 訂正などしてくださる協力者を求めています 表示編集, ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム、モバイル、電話、Android、iOS、Apple、携帯電話、Samsung、iPhone、Xiomi、Xiaomi、Redmi、Honor、Oppo、Nokia、Sonya、MI、PC、ウェブ、コンピューター