数学の複素解析におけるオイラーの公式 オイラーのこうしき 英 Euler s formula とは 複素指数関数と三角関数の間に成り立つ 以下の恒等式のことである eiz cos z isin z displaystyle e iz cos z i sin z ここで z displaystyle z は任意の複素数 e displaystyle e はネイピア数 i displaystyle i は虚数単位 cos displaystyle cos は余弦関数 sin displaystyle sin は正弦関数である 特に z f R displaystyle z varphi in mathbb R とする場合がよく使われ この場合 eif displaystyle e i varphi は 絶対値 1 displaystyle 1 偏角 f rad displaystyle varphi mathrm rad の複素数に等しい オイラーの公式の図形的な表現 複素数平面において 複素数 ei8 は 単位円周上の偏角 8 rad の点を表す オイラーの公式は 複素解析をはじめとする数学の様々な分野や 電気工学 物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である 物理学者のリチャード P ファインマンはこの公式を評して 我々の至宝 かつ すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式 だと述べている 概要この公式の名前は 18世紀の数学者レオンハルト オイラーに因むが 最初の発見者はロジャー コーツとされる コーツは1714年に log cos x isin x ix displaystyle log left cos x i sin x right ix を発見したが 三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した 1740年頃 オイラーは コーツの公式を基に 指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって オイラーの公式を証明し 1748年に発表した オイラーの公式を導入することにより 極形式の複素数は より簡素な表記に変換することができる すなわち 複素数の極形式 z r cos 8 i sin 8 は z rei8 に等しい また 特に 8 p のとき eip 1 0 displaystyle e i pi 1 0 が導かれる この関係式はオイラーの等式 Euler s identity と呼ばれる オイラーの公式により 余弦関数および正弦関数は 双曲線関数に変換することができる cos 8 cosh i8 displaystyle cos theta cosh i theta sin 8 1isinh i8 displaystyle sin theta tfrac 1 i sinh i theta 応用上では 三角関数を複素指数関数に置き換えることで 微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる 指数関数と三角関数実関数としての指数関数 ex 三角関数 cos x sin x をそれぞれマクローリン展開すると ex n 0 xnn x R displaystyle e x textstyle sum limits n 0 infty dfrac x n n quad x in mathbb R 1 cos x n 0 1 n 2n x2n x R displaystyle cos x textstyle sum limits n 0 infty dfrac 1 n 2n x 2n quad x in mathbb R 2 sin x n 0 1 n 2n 1 x2n 1 x R displaystyle sin x textstyle sum limits n 0 infty dfrac 1 n 2n 1 x 2n 1 quad x in mathbb R 3 となる これらの冪級数の収束半径が であることは ダランベールの収束判定法によって確認することができる 従ってこれらの級数は 変数 x を複素数全体に拡張することができ 広義一様収束する つまりこれらの級数によって表される関数は整関数である 解析接続すると 一致の定理より 複素数全体での正則関数としての拡張は一意であり この収束冪級数で表される ここで ex の x を ix に置き換え eix の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば eix n 0 inn xn n 0 i2n 2n x2n n 0 i2n 1 2n 1 x2n 1 n 0 1 n 2n x2n i n 0 1 n 2n 1 x2n 1 cos x isin x displaystyle begin aligned e ix amp textstyle sum limits n 0 infty dfrac i n n x n amp textstyle sum limits n 0 infty dfrac i 2n 2n x 2n sum limits n 0 infty dfrac i 2n 1 2n 1 x 2n 1 amp textstyle sum limits n 0 infty dfrac 1 n 2n x 2n i sum limits n 0 infty dfrac 1 n 2n 1 x 2n 1 amp cos x i sin x end aligned が得られる この公式は 歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が 複素数の世界では密接に結びついていることを表している 例えば 三角関数の加法定理は 指数法則 eaeb ea b に対応していることが分かる オイラーの公式により 三角関数を複素指数関数で表すことができる 余弦関数 正弦関数は cos z eiz e iz2 sin z eiz e iz2i displaystyle begin aligned cos z amp frac e iz e iz 2 sin z amp frac e iz e iz 2i end aligned となる 証明この公式には 上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている ここにいくつかの例を挙げる ただし 以下の微分を用いた証明については 実変数を複素数変数におき換えても これらの議論が成立していることを 別途で証明する必要がある 複素関数論 微分による証明 証明 関数の微分を用いた証明を示す 実変数 x の関数 f x を次のように定義する f x cos x isin x eix displaystyle f x cos x i sin x cdot e ix 1 f x を形式的に微分すると以下のようになる f x cos x isin x eix cos x isin x eix Leibniz s rule sin x icos x eix cos x isin x ieix sin x icos x icos x sin x eix i2 1 0 displaystyle begin aligned f x amp cos x i sin x cdot e ix cos x i sin x cdot e ix qquad mbox Leibniz s rule amp sin x i cos x cdot e ix cos x i sin x cdot ie ix amp left sin x i cos x i cos x sin x right cdot e ix qquad i 2 1 amp 0 end aligned したがって すべての実数 x について f x 0 が成り立つ これは f x が定数関数であることと同値である よって f x f 0 より f x cos 0 isin 0 ei 0 1 displaystyle f x cos 0 i sin 0 cdot e i cdot 0 1 2 となる 2 を 1 に代入すると次のようになる cos x isin x eix 1 displaystyle cos x i sin x cdot e ix 1 3 ここで 3 の両辺に cos x i sin x の複素共役 cos x i sin x を掛ければ 三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2x cos2x 1 よりオイラーの公式が得られる eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x 証明 別の証明として 実変数 x の関数 f x を次のように定義する f x cos x isin x e ix displaystyle f x cos x i sin x cdot e ix 4 f x を x について微分すると以下のようになる f x cos x isin x e ix cos x isin x e ix Leibniz s rule sin x icos x e ix cos x isin x ie ix sin x icos x icos x sin x e ix i2 1 0 displaystyle begin aligned f x amp cos x i sin x cdot e ix cos x i sin x cdot e ix qquad mbox Leibniz s rule amp sin x i cos x cdot e ix cos x i sin x cdot ie ix amp sin x i cos x i cos x sin x cdot e ix qquad i 2 1 amp 0 end aligned したがって すべての実数 x について f x 0 が成り立つ ゆえに f x は定数である よって f x f 0 より f x cos 0 isin 0 e i 0 1 displaystyle f x cos 0 i sin 0 cdot e i cdot 0 1 5 が成り立つ 5 を 4 に代入すると cos x isin x e ix 1 displaystyle cos x i sin x cdot e ix 1 が導出される この両辺に eix を掛け 任意の複素数 a b に対して成り立つ指数法則 eaeb ea b を利用すれば eix cos x isin x eixe ix cos x isin x e ix ix cos x isin x e0 cos x isin x 1 displaystyle begin aligned e ix amp cos x i sin x cdot e ix e ix amp cos x i sin x cdot e ix ix amp cos x i sin x cdot e 0 amp cos x i sin x cdot 1 end aligned 以上より eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x 微分方程式による証明 証明 微分方程式を用いた証明を示す x を実数 x の関数 f x を以下のように定義する f x cos x isin x displaystyle f x cos x i sin x また記法を簡潔にするために補助的な方程式 y f x displaystyle y f x によって y を定める これらをまとめると以下の方程式を得る y cos x isin x displaystyle y cos x i sin x 1 1 に x 0 を代入すると y cos 0 isin 0 1 displaystyle y cos 0 i sin 0 1 2 を得る 1 の両辺を x について微分し 両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる idydx isin x dcos xdx sin x cos x dsin xdx cos x displaystyle i frac mathrm d y mathrm d x underbrace i sin x frac mathrm d cos x mathrm d x sin x underbrace cos x frac mathrm d sin x mathrm d x cos x 3 3 と 1 より dydx iy displaystyle frac mathrm d y mathrm d x iy 4 を得る 任意の 0 でない複素数 a について 関数 eax は次の関係を満たす dd ax eax eax displaystyle frac mathrm d mathrm d alpha x e alpha x e alpha x 5 4 と 5 を見比べ a i と置き換えれば f 0 1 より y eix displaystyle y e ix 6 が成り立つ 最後に 1 および 6 から y を消去すればオイラーの公式が得られる eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x 2階線型微分方程式による証明 証明 2階線型微分方程式を用いた証明を示す 実数 x を変数とする関数 y eixy cos xy sin x displaystyle begin cases displaystyle y e ix displaystyle y cos x displaystyle y sin x end cases 1 はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である d2ydx2 y 0 displaystyle frac mathrm d 2 y mathrm d x 2 y 0 2 2 は斉次な方程式なので 一般解は基本解の線型結合として表すことができる cos x と sin x は 2 の基本解である 実際 ロンスキー行列式 cos xsin x sin xcos x cos2 x sin2 x 1 displaystyle begin vmatrix cos x amp sin x sin x amp cos x end vmatrix cos 2 x sin 2 x 1 は 0 にならない よって 1 および 2 より eix C1cos x C2sin x displaystyle e ix C 1 cos x C 2 sin x 3 が成立する また 3 の両辺を微分したものは ieix C1sin x C2cos x displaystyle ie ix C 1 sin x C 2 cos x 4 となる 3 4 に x 0 を代入したものはそれぞれ 1 C1i C2 displaystyle begin aligned 1 C 1 i C 2 end aligned 5 となるので 5 より 3 の線型結合はオイラーの公式を与える eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x ロンスキー行列による証明 証明 W eixcos x isin xieix sin x icos x eix sin x icos x eix icos x sin x 0 displaystyle W begin vmatrix e ix amp cos x i sin x ie ix amp sin x i cos x end vmatrix e ix sin x i cos x e ix i cos x sin x 0 として cos x i sin x と eix が線型従属であることを確認する ここで ある定数 C について eix C cos x isin x displaystyle e ix C cos x i sin x が成立する ここで x 0 を代入すると C 1 となり eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x が得られる ド モアブルの定理による証明 証明 ド モアブルの定理を用いた証明を示す ド モアブルの定理より cos n8 isin n8 cos 8 isin 8 n cos n8 isin n8 cos 8 isin 8 n displaystyle begin aligned cos n theta i sin n theta amp cos theta i sin theta n cos n theta i sin n theta amp cos theta i sin theta n end aligned 辺々加えて 2cos n8 cos 8 isin 8 n cos 8 isin 8 n displaystyle 2 cos n theta cos theta i sin theta n cos theta i sin theta n 右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば i の奇数乗の項は相殺し i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので cos n8 k 0 n2 1 k n2k cos 8 n 2k sin 8 2k k 0 n2 1 k n2k cos 8 n tan 8 2k displaystyle begin aligned cos n theta amp sum k 0 left tfrac n 2 right 1 k binom n 2k cos theta n 2k sin theta 2k amp sum k 0 left tfrac n 2 right 1 k binom n 2k cos theta n tan theta 2k end aligned を得る これが cos 8 の n 倍角の公式の閉じた表示式である s は s の整数部分 この式において n8 x と置き換えると cos x k 0 1 k n2k cos xn n tan xn 2k displaystyle cos x sum k 0 infty 1 k binom n 2k left cos frac x n right n left tan frac x n right 2k 和の上端を に書き直したが k gt n 2 のとき二項係数の部分が 0 になるので これは n 2 までの和に等しい n の極限においては cos xn 1 sin xn xn tan xn xn displaystyle cos frac x n sim 1 sin frac x n sim frac x n tan frac x n sim frac x n となり 各項目において漸近的に等しいことが確認できる したがって n2k n2k 2k cos xn n 1 tan xn 2k x2kn2k displaystyle binom n 2k sim frac n 2k 2k left cos frac x n right n sim 1 left tan frac x n right 2k sim frac x 2k n 2k となる よって cos x k 0 1 k 2k x2k displaystyle cos x sum k 0 infty frac 1 k 2k x 2k が得られる 同様に sin x について考えれば sin x k 0 1 k n2k 1 cos xn n tan xn 2k 1 displaystyle sin x sum k 0 infty 1 k binom n 2k 1 left cos frac x n right n left tan frac x n right 2k 1 より sin x k 0 1 k 2k 1 x2k 1 displaystyle sin x sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 x 2k 1 が得られる ここで n の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると cos xn 1 an displaystyle cos frac x n 1 a n とおけば cos xn n 1 an n 1 nan n2 an2 displaystyle begin aligned left cos frac x n right n amp left 1 a n right n amp 1 na n binom n 2 a n 2 dotsb end aligned であるから an が小さいとき n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが an が 1 n よりも早く 0 に近づくときには 極限に影響しない 本議論において an cos xn 1 2sin2 x2n displaystyle begin aligned a n amp cos frac x n 1 amp 2 sin 2 frac x 2n end aligned であるから an x22n2 displaystyle a n sim frac x 2 2n 2 となる したがって ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば cos xn 1 O 1n2 displaystyle cos frac x n 1 O left frac 1 n 2 right ゆえに limn cos xn n 1 displaystyle lim n rightarrow infty left cos frac x n right n 1 ここで ド モアブルの定理に立ち返って cos n8 isin n8 cos 8 isin 8 n displaystyle cos n theta i sin n theta cos theta i sin theta n 上記式において n8 x とおくと cos x isin x cos xn isin xn n displaystyle cos x i sin x left cos frac x n i sin frac x n right n ここで n の極限をとったとき cos xn isin xn 1 ixn O 1n2 displaystyle cos frac x n i sin frac x n 1 frac ix n O left frac 1 n 2 right であるから limn cos xn isin xn n limn 1 ixn n eix displaystyle lim n rightarrow infty left cos frac x n i sin frac x n right n lim n rightarrow infty left 1 frac ix n right n e ix よって eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x が得られる 脚注 脚注の使い方 参照 ファインマン 1977 pp 294 307 吉田 2021 p 230 a b John Stillwell 2002 Mathematics and Its History Springer https books google co jp books id V7mxZqjs5yUC amp pg PA315 amp redir esc y amp hl ja a b 複素関数を学ぶ人のために 山口大学 理学部 物理 情報科学科 芦田 正巳 藤田 1999 epi 1 0 2階微分方程式 オイラーの数学から 無限解析序説 への招待 野海 正俊 注釈 冪級数 n 0 anxn displaystyle scriptstyle sum limits n 0 infty a n x n の収束半径 R は 極限 r limn anan 1 displaystyle scriptstyle r lim limits n to infty left frac a n a n 1 right が存在すれば R r である 極限が存在しない場合 収束半径はこの方法では求まらない ex の収束半径は limn 1 n 1 n 1 limn n 1 displaystyle begin aligned scriptstyle lim limits n to infty left frac 1 n 1 n 1 right amp scriptstyle lim limits n to infty n 1 scriptstyle amp scriptstyle infty end aligned となる cos x の収束半径は x2 についての級数と考えたときの収束半径に等しい limn 1 n 2n 1 n 1 2 n 1 limn 2 n 1 2n limn 2n 2 2n 1 displaystyle begin aligned scriptstyle lim limits n to infty left frac 1 n 2n 1 n 1 2 n 1 right amp scriptstyle lim limits n to infty frac 2 n 1 2n scriptstyle amp scriptstyle lim limits n to infty 2n 2 2n 1 scriptstyle amp scriptstyle infty end aligned sin x の収束半径は 同様に limn 1 n 2n 1 1 n 1 2 n 1 1 limn 2n 3 2n 1 limn 2n 3 2n 2 displaystyle begin aligned scriptstyle lim limits n to infty left frac 1 n 2n 1 1 n 1 2 n 1 1 right amp scriptstyle lim limits n to infty frac 2n 3 2n 1 scriptstyle amp scriptstyle lim limits n to infty 2n 3 2n 2 scriptstyle amp scriptstyle infty end aligned 以上で 1 2 3 の右辺の収束半径が であることが証明された これらは多項式でないので超越整関数であり 無限遠点を真性特異点に持つ ea b n 0 a b nn n 0 1n r 0nn r n r arbn r n 0 r 0narbn rr n r r 0 n r arbn rr n r r 0 arr n r bn r n r m n r r 0 arr m 0 bmm eaeb displaystyle begin aligned scriptstyle e a b amp scriptstyle sum limits n 0 infty frac a b n n amp scriptstyle sum limits n 0 infty frac 1 n sum limits r 0 n frac n r n r a r b n r amp scriptstyle sum limits n 0 infty sum limits r 0 n frac a r b n r r n r amp scriptstyle sum limits r 0 infty sum limits n r infty frac a r b n r r n r amp scriptstyle sum limits r 0 infty frac a r r sum limits n r infty frac b n r n r m equiv n r amp scriptstyle sum limits r 0 infty frac a r r sum limits m 0 infty frac b m m amp scriptstyle e a e b quad end aligned i2 1 より i 1 i であることを利用した e0 1 および sin 0 0 cos 0 1 を利用した cos x i sin x は関数として 0 でないので 三角関数の半角公式を利用した 参考文献ウィキメディア コモンズには オイラーの公式に関連するカテゴリがあります 小笠英志 相対性理論の式を導いてみよう そして 人に話そう ベレ出版 2011年1月20日 165 171頁 ISBN 978 486064 267 9 杉浦光夫 解析入門I 東京大学出版会 基礎数学2 1980年3月31日 ISBN 978 4 13 062005 5 田村二郎 解析関数 新版 裳華房 数学選書3 1983年11月15日 ISBN 978 4 7853 1307 4 Dunham William 1999 Euler The Master of Us All The Mathematical Association of America ISBN 978 0 88385 328 3 http paginas fisica uson mx horacio munguia Personal Documentos Libros Euler 20The Master 20of 20Us pdf W ダンハム 著 黒川信重 若山正人 百々谷哲也 訳 オイラー入門 丸善出版 シュプリンガー数学リーディングス 第1巻 2019年4月 ISBN 978 4 621 06568 6 注記 2004年6月にシュプリンガー ジャパンより出版された同名書籍の再出版 ファインマン リチャード レイトン サンズ 著 坪井忠二 訳 力学 I 岩波書店 ファインマン物理学 1977年 294 307頁 ISBN 978 4 00 007711 8 OCLC 47339138 藤田宏 応用数学 放送大学教育振興会 放送大学教材 1999年3月 ISBN 978 4 595 56042 2 吉田武 オイラーの贈物 人類の至宝 eip 1 を学ぶ 新装版 東海教育研究所 2021年1月 ISBN 978 4 924523 14 2 吉田武 オイラーの贈物 人類の至宝 eip 1 を学ぶ 筑摩書房 ちくま学芸文庫 2001年11月 ISBN 978 4 480 08675 4 関連項目オイラーの等式 極座標系 純虚指数函数 複素指数函数を使わないで極形式を表示する ド モアブルの定理 指数法則の一つが成り立つことを表している 微分方程式 フーリエ級数 複素指数函数 複素対数函数 オイラーの公式は複素数の対数関数に関する研究から発見された 外部リンク オイラーの公式と複素指数関数 高校数学の美しい物語 オイラーの公式 コトバンク, ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム、モバイル、電話、Android、iOS、Apple、携帯電話、Samsung、iPhone、Xiomi、Xiaomi、Redmi、Honor、Oppo、Nokia、Sonya、MI、PC、ウェブ、コンピューター