物理学 gt 力学 gt 連続体力学 連続体力学 れんぞくたいりきがく 英語 Continuum mechanics とは 物理的対象を連続体という空間的広がりを持った物体として理想化してその力学的挙動を解析する物理学の一分野である 古典力学F ddt mv displaystyle boldsymbol F frac mathrm d mathrm d t m boldsymbol v 運動の第2法則 英語版 分野静力学 動力学 物理学における動力学 運動学 応用力学 天体力学 連続体力学 統計力学定式化ニュートン力学 解析力学 ラグランジュ力学 ハミルトン力学基本概念空間 時間 速度 速さ 質量 加速度 重力 力 力積 トルク モーメント 偶力 運動量 角運動量 慣性 慣性モーメント 基準系 エネルギー 運動エネルギー 位置エネルギー 仕事 仮想仕事 ダランベールの原理主要項目剛体 運動 ニュートン力学 万有引力 運動方程式 慣性系 非慣性系 回転座標系 慣性力 平面粒子運動力学 変位 相対速度 摩擦 単振動 調和振動子 減衰 自転 回転 円運動 向心力 遠心力 遠心力 回転座標系 コリオリの力 振り子 回転速度 角加速度 角速度 角周波数 科学者ニュートン ケプラー ホロックス オイラー ダランベール クレロー ラグランジュ ラプラス ハミルトン ポアソン表編歴連続体力学法則質量保存の法則 運動量保存の法則 エネルギー保存の法則 クラウジウス デュエムの不等式固体力学固体 変形 弾性 弾性波 弾塑性 塑性 フックの法則 応力 ひずみ 有限変形理論 レオロジー 粘弾性 超弾性流体力学流体 流体静力学 流体動力学 粘度 ニュートン流体 非ニュートン流体 表面張力科学者ニュートン ストークス ナビエ コーシー フック ベルヌーイ表編歴 連続体力学では対象である連続体を巨視的に捉え 分子構造のような内部の微視的な構造が無視できるなめらかなものであり 力を加えることで変形するものとみなす 概要主な連続体として弾性体と流体がある 直観的には弾性体とは圧力を取り除くと元の状態に復帰する固体であり 流体は気体 液体 プラズマを記述するものである 連続体力学は物体を空間上の一点に近似して扱う質点の力学とは区別され 物体の変形を許容しない剛体の力学とも区別される 剛体は 変形しにくさを表す量である弾性係数が無限大である すなわち一切変形しない 連続体であるとみなすこともできる 連続体の力学は材料力学 水力学 土質力学といった応用力学 およびそれらの応用分野である材料工学 化学工学 機械工学 航空宇宙工学などで用いられる 基礎概念連続体の記述方法 連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている 第一の表示は 視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で 時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を Q F x t displaystyle Q F boldsymbol x t として記述する方法である この表示は連続体の空間表示 spatial description あるいはオイラー表示 オイラー記述 Eulerian description と呼ばれる 空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場として記述される 第二の表示は 連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で 時刻 t 0 に初期位置 x X0 にあった連続体の部分が時刻 t において移動している位置を x X t として この部分に付随する物理量 Q を Q Fm t X0 F X t t displaystyle Q F text m t boldsymbol X 0 F boldsymbol X t t により記述する方法である この表示は連続体の物質表示 material description あるいはラグランジュ表示 ラグランジュ表記 Lagrangian description と呼ばれる 物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 t の関数として記述される 各部分の初期位置 X0 は補助変数である 特に物質表示において速度は v vm t X0 v X t t dXdt displaystyle boldsymbol v boldsymbol v text m t boldsymbol X 0 boldsymbol v boldsymbol X t t frac mathrm d boldsymbol X mathrm d t を満たす 連続体を記述する二つの表示と対応して 二種類の時間微分が定義される 空間表示と対応する時間微分は Q t F t displaystyle frac partial Q partial t frac partial F partial t で定義される 空間表示では物理量が場として記述されるため 対応する時間微分は偏微分である この微分はオイラー微分 Eularian derivative 空間微分 spatial derivative 空間時間微分 spatial time derivative 要出典 と呼ばれる 一方 物質表示と対応する時間微分は DQDt dFmdt displaystyle frac mathrm D Q mathrm D t frac mathrm d F mathrm m mathrm d t で定義される 物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため 対応する時間微分はである この微分は物質微分 material derivative 物質時間微分 material time derivative 流れに乗って移動するときの微分 実質微分 ラグランジュ微分 Lagrangian derivative などと呼ばれる これら二つの時間微分は連鎖律から dFmdt dXdt grad F F t x X t v x t grad F F t x X t displaystyle frac mathrm d F text m mathrm d t left frac mathrm d boldsymbol X mathrm d t cdot operatorname grad F frac partial F partial t right boldsymbol x boldsymbol X t left boldsymbol v boldsymbol x t cdot operatorname grad F frac partial F partial t right boldsymbol x boldsymbol X t となる ここで右辺の括弧の中はオイラー表示で表されているので オイラー表示におけるラグランジュ微分は DQDt v grad Q Q t displaystyle frac mathrm D Q mathrm D t boldsymbol v cdot operatorname grad Q frac partial Q partial t B1 で表される ラグランジュ微分はオイラー微分と違いガリレイ変換に対して不変であるなどの利点がある 連続体に働く力 重力のように体積要素dV を使って VrdV displaystyle int V rho mathrm d V のように表記できる力を体積力という それに対して連続体の断面の面積要素dS を使って表現できる力を 面積力といい 位置x と面の法線n を用いて面積力を Spx n dS displaystyle int S boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol n mathrm d S と表記したとき 積分内のpx n を連続体に働く応力という 応力px n は面の法線n に平行であるとは限らない 例えばゴムでできた柱が重力に負けて横に歪むのは重力に垂直な方向に応力が生じている為である 応力のうち法線方向の成分を法線応力 法線と垂直な成分を接線応力という 法線応力が法線と同じ方向の時の法線応力を張力 反対方向の時の法線応力を圧力という 応力を具体的に書き表すため 連続体内に一点x を取り 微小な四面体を図のように定義する 本文と図の記号の違いに注意 と x の周りの面積力の総和は KS displaystyle K S px n dS px e1 dS1 px e2 dS2 px e3 dS3 displaystyle boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol n mathrm d S boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 1 mathrm d S 1 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 2 mathrm d S 2 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 3 mathrm d S 3 px n px e1 e1 px e2 e2 px e3 e3 dS displaystyle boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol n boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 1 cdot boldsymbol e 1 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 2 cdot boldsymbol e 2 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 3 cdot boldsymbol e 3 mathrm d S となる 応力の釣り合いを示す四面体 本文とは記号が異なり 図のO dA dA1 dA2 dA3 はそれぞれ本文のx dS dS1 dS2 dS3 に対応している また図と本文の双方においてe1 e2 e3 はそれぞれx1 軸 x2 軸 x3 軸方向の単位ベクトルである 四面体に働く体積力をKV とすると 力の釣り合いから KS KV 0 displaystyle K S K V 0 であるが 四面体の大きさを小さくしていくと 面積力KS が四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し 体積力 KV はそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので KS dS は0でなければならない よって px n px e1 e1 px e2 e2 px e3 e3 displaystyle boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol n boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 1 cdot boldsymbol e 1 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 2 cdot boldsymbol e 2 boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e 3 cdot boldsymbol e 3 が成立する px ej displaystyle boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol e j のei 方向成分をsxij とすれば px n e1e2e3 sx11sx21sx31sx21sx22sx23sx13sx23sx33 n1n2n3 displaystyle boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol n begin pmatrix boldsymbol e 1 amp boldsymbol e 2 amp boldsymbol e 3 end pmatrix begin pmatrix sigma boldsymbol x 11 amp sigma boldsymbol x 21 amp sigma boldsymbol x 31 sigma boldsymbol x 21 amp sigma boldsymbol x 22 amp sigma boldsymbol x 23 sigma boldsymbol x 13 amp sigma boldsymbol x 23 amp sigma boldsymbol x 33 end pmatrix begin pmatrix n 1 n 2 n 3 end pmatrix B2 が成立する ここでni はn の ei 方向成分である 行列 sxij i j を連続体の応力テンソルという 変形と歪み 力をかけるなどして 連続体が変形し 最初点x にあった粒子がt 秒後にft x に移動したとする このとき r r x t ϕt x x displaystyle boldsymbol r boldsymbol r boldsymbol x t phi t boldsymbol x boldsymbol x をこの変形の変位ベクトルと呼び ヤコビ行列 D ri xj i j displaystyle D left partial r i over partial x j right i j をこの変形の変形テンソル deformation tensor と呼ぶ 変形テンソルを対称部分と非対称部分に Eij 12 Dij Dji Fij 12 Dij Dji displaystyle begin array ll E ij amp 1 over 2 D ij D ji F ij amp 1 over 2 D ij D ji end array とわけ 対称部分にあたる Eij i j を歪みテンソル strain tensor という 歪みテンソルの対角成分Eii を伸縮歪み elongation contraction 反対角成分をずれ歪み shear strain といい 伸縮歪みの総和 iEii r displaystyle sum i E ii nabla cdot boldsymbol r を体積歪み volume dilatation という 一方 反対称部分である Fij i j は定義より明らかに Fij Fji displaystyle F ij F ji Fii 0 displaystyle F ii 0 である W W1 W2 W3 2F23 2F31 2F12 displaystyle Omega Omega 1 Omega 2 Omega 3 2F 23 2F 31 2F 12 と定義すると W r displaystyle Omega nabla times boldsymbol r である W をこの変形の回転もしくは回転ベクトルという これらのテンソルは 変形を開始した時刻t0 における位置x と現在の時刻t の関数であるので時間微分した量を計算できる Dij t t t0 t ri xj t t0 vi xj Eij t t t0 12 vi xj vj xi W t t t0 v displaystyle begin array ll left partial D ij over partial t right t t 0 left partial over partial t partial r i over partial x j right t t 0 partial v i over partial x j left partial E ij over partial t right t t 0 1 over 2 left partial v i over partial x j partial v j over partial x i right left partial Omega over partial t right t t 0 nabla times boldsymbol v end array B3 が成立する ここでv v1 v2 v3 displaystyle boldsymbol v v 1 v 2 v 3 は速度ベクトルである vi xj displaystyle partial v i over partial x j を変形速度テンソル deformation rate tensor 12 vi xj vj xi displaystyle 1 over 2 left partial v i over partial x j partial v j over partial x i right を歪み速度テンソル stain rate tensor v displaystyle nabla times boldsymbol v を渦度 vorticity という さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度 elongation contraction rate 非対角成分をずれ歪み速度 shear stain rate という 連続体が満たす方程式連続体の挙動は基礎方程式と呼ばれる微分方程式で記述される 基礎方程式は全ての連続体が満たす保存則と研究対象である物質固有の構成式からなる 本節では連続体が満たす保存則を紹介する 連続の方程式 連続体を空間表記したとき 時刻t における空間上の点x での連続体の密度をr r x t とする 空間内の領域V を考え V の境界 V 上の微小な面dS とその法線ベクトルn に対し 微小時間Dt にdS からV の外へ流出する粒子の総質量はrv nDtdS displaystyle rho boldsymbol v cdot boldsymbol n Delta t mathrm d S であるので 空間内の領域V の質量のDt 秒間での増加量は 質量保存の法則より V r tDtdV Vrv nDtdS V rv DtdV displaystyle int V partial rho over partial t Delta t mathrm d V int partial V rho boldsymbol v cdot boldsymbol n Delta t mathrm d S int V nabla cdot rho boldsymbol v Delta t mathrm d V である ここで第二の等号はガウスの発散定理より従う V の任意性により 連続体は以下の連続の方程式を満たさねばならないことが結論づけられる r t rv 0 displaystyle partial rho over partial t nabla cdot rho boldsymbol v 0 B1 式より 物質微分を使えば連続の方程式は DrDt r v 0 displaystyle mathrm D rho over mathrm D t rho nabla cdot boldsymbol v 0 C1 とも書ける 運動方程式 V を連続体上の 時間変化しない 任意の領域とするとき 運動量保存の法則から以下が成立する 単位時間にV に働く力積の総和 単位時間にV に流出する運動量の総和 単位時間にV に働く体積力による力積 単位時間にV の境界に働く面積力による力積 上の式を具体的に書き下すことで 連続体の運動方程式を導出できる 連続体の点x における時刻t での密度をr r x t とし 速度ベクトルをv v x t とするとき 単位時間にV に働く力積の総和 ddt VrvdV V rv tdV displaystyle mathrm d over mathrm d t int V rho boldsymbol v mathrm d V int V partial rho boldsymbol v over partial t mathrm d V であり 単位時間にV に流出する運動量の総和 V 微小面積dS を通って流入した粒子の総質量 dS の法線方向の粒子の速さ dS V rv v n dS displaystyle int partial V rho boldsymbol v cdot boldsymbol v cdot boldsymbol n mathrm d S Vt rv1v n rv2v n rv3v n dS displaystyle int partial V t rho v 1 boldsymbol v cdot boldsymbol n rho v 2 boldsymbol v cdot boldsymbol n rho v 3 boldsymbol v cdot boldsymbol n mathrm d S Vt rv1v rv2v rv3v dV displaystyle int V t nabla cdot rho v 1 boldsymbol v nabla cdot rho v 2 boldsymbol v nabla cdot rho v 3 boldsymbol v mathrm d V である 最後の等式はガウスの発散定理による ここでv v1 v2 v3 である 体積力をK K1 K2 K3 とすると 単位時間にV に働く体積力による力積 VrKdV displaystyle int V rho boldsymbol K mathrm d V であり さらにsi si 1 si 2 si 3 displaystyle boldsymbol sigma i sigma i 1 sigma i 2 sigma i 3 とすると 単位時間にV の境界に働く面積力による力積 V i jsi jnjejdS displaystyle int partial V sum i j sigma i j n j boldsymbol e j mathrm d S Vt s1 n s2 n s3 n dS displaystyle int partial V t boldsymbol sigma 1 cdot boldsymbol n boldsymbol sigma 2 cdot boldsymbol n boldsymbol sigma 3 cdot boldsymbol n mathrm d S Vt s1 s2 s3 dV displaystyle int V t nabla cdot boldsymbol sigma 1 nabla cdot boldsymbol sigma 2 nabla cdot boldsymbol sigma 3 mathrm d V である 最後の等式は再びガウスの発散定理による V の任意性より 最終的に連続体の運動方程式は以下のようになる i 1 2 3 に対し rvi t rviv rKi si displaystyle partial rho v i over partial t nabla cdot rho v i boldsymbol v rho K i nabla cdot boldsymbol sigma i なお テンソルe eij ij に対し div e j eij xj i displaystyle overrightarrow operatorname div varepsilon sum j partial varepsilon ij over partial x j i と定義すると 上の方程式は rv t div rv v rK div s displaystyle partial rho boldsymbol v over partial t overrightarrow operatorname div rho boldsymbol v otimes boldsymbol v rho boldsymbol K overrightarrow operatorname div sigma と書くこともできる 上の運動方程式と連続の方程式 C1 を用いる事で 運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる DvDt K 1rdiv s displaystyle mathrm D boldsymbol v over mathrm D t boldsymbol K 1 over rho overrightarrow operatorname div sigma C2 応力テンソルの対称性 角運動量が保存する場合 弾性体の各点x で応力テンソルは対称性 任意のi j 1 2 3 に対しsx ij sx ji displaystyle sigma boldsymbol x ij sigma boldsymbol x ji を満たす 連続体の分類連続体力学 連続体の研究 固体力学 外力がない状態で形状を保てる連続体に関する研究 弾性 圧力を取り除くと元の状態に復帰する性質塑性 圧力をかけると永久変形する性質 レオロジー 静的においてせん断応力に耐えられない物体の研究流体力学 静止状態においてせん断応力が発生しない連続体 流体 を研究する分野 非ニュートン流体 ニュートン流体以外の流体ニュートン流体 流れの剪断応力 接線応力 と流れの速度勾配 ずり速度 の関係が線形である粘性の性質を持つ流体のこと弾性体と塑性体 弾性体 elastic body とは 各時刻において応力と変形に一意的な関係がある連続体の事を指す それに対し塑性体 plastic body とは 応力がある一定の限界を越えると変形が不可逆となり 応力を取り去った後も変形が残る 永久変形 連続体の事を指す 弾性体の中で特に 応力テンソルと歪みテンソルが線形な関係式 sij klCijklEkl displaystyle sigma ij sum kl C ijkl E kl E1 を満たすものをといい 上述の関係式を線形弾性体上のフックの法則という このようなCijkl が存在するとき Cijkl を弾性係数 elastic constant といい 弾性係数を並べたテンソルを弾性係数テンソルという また弾性体の中で その物理的特性が方向性に依存しないものを等方弾性体 isotropic elastic body という 等方かつ線形な弾性体の弾性係数テンソルは Cijkl ldijdkl m dikdjl dildjk displaystyle C ijkl lambda delta ij delta kl mu delta ik delta jl delta il delta jk E2 という形で書き表せる事が知られている 定数lとmをラメの弾性定数 Lame s elastic constant という このとき E1 E2 より sij l kEkkdij 2mEij displaystyle sigma ij lambda sum k E kk delta ij 2 mu E ij E3 一方 塑性体は弾性体と違い 応力を加えるときと取り除くときで変形の関係式が異なる弾性履歴という現象が観測される また複雑な分子構造の高分子で物質では応力と変形に時間的なズレが生じ 遅延弾性や応力緩和といった現象が起こる事がある 等方かつ線形な弾性体の運動方程式 弾性体の場合 弾性体上の各点の運動速度v が小さい 従って連続体の運動方程式 C2 DvDt K 1rdiv s displaystyle mathrm D boldsymbol v over mathrm D t boldsymbol K 1 over rho overrightarrow operatorname div sigma の左辺は物質微分の定義 B1 より DvDt v t v v displaystyle mathrm D boldsymbol v over mathrm D t partial boldsymbol v over partial t boldsymbol v cdot nabla boldsymbol v であるが 第二項はv に関する二次の微小量であるので無視できる さらにr の時間変化が無視できるほど小さいとすれば 2v t2 K t 1rdiv s t displaystyle partial 2 boldsymbol v over partial t 2 partial boldsymbol K over partial t 1 over rho overrightarrow operatorname div partial sigma over partial t 弾性体が等方かつ線形であれば B3 E3 より 各i に対し div tsij j l k tEkkdij 2m tEij j displaystyle operatorname div partial t sigma ij j nabla cdot lambda sum k partial t E kk delta ij 2 mu partial t E ij j ldij v m ivj jvi j displaystyle nabla cdot lambda delta ij nabla cdot boldsymbol v mu partial i v j partial j v i j l m i v mDvj displaystyle lambda mu partial i nabla cdot boldsymbol v mu Delta v j よって等方かつ線形な弾性体の運動方程式は以下のようになる 2v t2 K t 1r l m v mDv displaystyle partial 2 boldsymbol v over partial t 2 partial boldsymbol K over partial t 1 over rho lambda mu nabla nabla cdot boldsymbol v mu Delta boldsymbol v 流体 静止状態で任意の点の全ての断面において接線応力が0になる連続体を流体という 静止状態にある流体の任意の点x に対し x における法線n 方向の法線応力は pn の形に書け しかもp は x のみに依存し 法線n に依存しない事が簡単に証明できる 応力 pn を静水圧という p が正のとき静水圧は圧力であり 負のとき静水圧は張力である 流体が気体もしくは熱平衡状態にある液体であれば p は常に正である事が知られているが 準熱平衡状態にある液体ではp が負になる事もありうる これを負圧といい 樹木による樹液の吸い上げや地面の凍上で観測される現象である 運動状態においても接線応力が生じない流体を完全流体という オイラーの時代には流体はどれも完全流体としてモデル化されていたが 接線応力が無いという事は 運動している流体の中に棒をさしても一切抵抗を受けないという事なので直観に反する ダランベールのパラドックス こうした事情から 流体であっても運動している際には抵抗を受けるものとしてモデル化されるようになった 運動している流体の応力が sij Gij klGijkl E kl displaystyle sigma ij G ij sum kl G ijkl dot E kl F1 と歪み速度テンソルの一次式で記述できる流体をニュートン流体 そうでない流体を非ニュートン流体という 流体の定義から静止状態では接線応力が0なので Gij は静水圧p を用いて Gij pdij displaystyle G ij p delta ij F2 と書ける さらに流体が等方性を満たせば 弾性体の時と同様の議論により Gijkl zdijdkl h dikdjl dildjk displaystyle G ijkl zeta delta ij delta kl eta delta ik delta jl delta il delta jk F3 が成立する F1 F2 F3 より sij p z kE kk dij 2hE ij displaystyle sigma ij p zeta sum k dot E kk delta ij 2 eta dot E ij F4 である h をずれ粘性率 shear viscousity あるいは単に粘性率といい z を第二粘性率という 定義より体積歪み速度 iE ii displaystyle sum i dot E ii は isii 3 p x iE ii x z 23h displaystyle begin array ll sum i sigma ii amp 3 p chi sum i dot E ii chi amp zeta 2 over 3 eta end array F5 を満たす x を体積粘性率 bulk viscousity という h z 0 であれば 運動している場合でも接線応力が0である事になるので これは流体が完全流体である事を意味する このため完全流体の事を非粘性流体ともいう 流体の運動方程式 等方なニュートン流体であれば F4 より 各i に対し div sij j displaystyle operatorname div sigma ij j p z kE kk dij 2hE ij j displaystyle nabla cdot p zeta sum k dot E kk delta ij 2 eta dot E ij j F6 であるので これを連続体の運動方程式 C2 DvDt K 1rdiv s displaystyle mathrm D boldsymbol v over mathrm D t boldsymbol K 1 over rho overrightarrow operatorname div sigma に代入する事で 等方なニュートン流体の運動方程式が得られる h やz は流体の圧力や温度に依存するが こうした影響が小さいとすれば h やz は定数だと見なせるので F6 の式の右辺は B3 より ip i z v j j h jvi j h ivj displaystyle partial i p partial i zeta nabla cdot boldsymbol v sum j partial j eta partial j v i partial j eta partial i v j ip z h i v hDvj displaystyle partial i p zeta eta partial i nabla cdot boldsymbol v eta Delta v j となる ここでD はラプラシアンである よって F5 よりナビエ ストークス方程式 DvDt K 1r p x h3 1r v hrDv displaystyle mathrm D boldsymbol v over mathrm D t boldsymbol K 1 over rho nabla p chi eta over 3 1 over rho nabla nabla cdot boldsymbol v eta over rho Delta boldsymbol v が従う 脚注 脚注の使い方 注釈 ここに載せた完全流体の定義はによるが 定義は分野や書籍によって異なる場合がある 詳細は完全流体の項目を参照されたい 出典 巽 1995 p 49 巽 1995 p 52 田村武 連続体力学入門 朝倉書店 2000年2月20日初版1刷発行 ISBN 4254201028 日野幹雄 流体力学 朝倉書店 1992年12月10日初版1刷発行 ISBN 4254200668 中村育雄 流体解析ハンドブック 共立出版 1998年3月20日初版1刷発行 ISBN 4320081188 巽友正 新物理学シリーズ21 流体力学 培風館 1982年 4月15日初版発行 ISBN 4 563 02421 X 吉澤徴 流体力学 東京大学出版 2001年9月6日初版発行 ISBN 4130626035 巽 1995 p 23 a b c d e 巽 1995 p 37 43 a b 巽 1995 p 45 46 巽 1995 p 35 今井功 流体力学 前編 裳華房 1973年11月25日発行 ISBN 4 7853 2314 0 a b c d e f g h 巽 1995 p 49 52 巽 1995 p 96 a b c d e f g h i j 巽 1995 p 52 58 参考文献巽友正 連続体の力学 岩波書店 岩波基礎物理シリーズ 1995年 ISBN 4 00 007922 0 Lai W Michael David Rubin Erhard Krempl 1996 Introduction to Continuum Mechanics 3rd edition ed Elsevier Inc ISBN 978 0 7506 2894 5 http www elsevierdirect com product jsp isbn 9780750628945 Fung Y C 1977 A First Course in Continuum Mechanics 2nd edition ed Prentice Hall Inc ISBN 0133183114 Dill Ellis Harold 2006 Continuum Mechanics Elasticity Plasticity Viscoelasticity Germany CRC Press ISBN 0849397790 https books google ca books id Nn4kztfbR3AC amp rview 1 amp hl en Hutter Kolumban Klaus Johnk 2004 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