ド モアブルの定理 とは異なります この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか 不十分です 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください このテンプレートの使い方 出典検索 ド モルガンの法則 ニュース 書籍 スカラー CiNii J STAGE NDL dlib jp ジャパンサーチ TWL 2018年6月 ド モルガンの法則 ド モルガンのほうそく 英 De Morgan s laws は ブール論理や集合の代数学において 論理和と論理積と否定 集合のことばでは 和集合と共通部分と差集合 の間に成り立つ規則性である 名前は数学者オーガスタス ド モルガン Augustus de Morgan 1806 1871 にちなむ ド モルガンの法則のベン図による表現 図1 図2のそれぞれの場合において 等式の両辺の集合は青い領域で図示される この規則性 論理のことばで言うと 真と偽を入れ替え 論理和と論理積を入れ替えた論理体系 は 元の論理体系と同一視できる ということであるので ド モルガンの双対性 英 De Morgan s duality と呼ばれることもある 命題論理における法則任意の命題 P Q displaystyle P Q in bot top に対して P Q P Q displaystyle neg P lor Q neg P land neg Q P Q P Q displaystyle neg P land Q neg P lor neg Q が成り立つ これをド モルガンの法則という より一般的な法則として 任意の n 個の命題 P1 P2 Pn displaystyle P 1 P 2 cdots P n in bot top に対して i 1nPi i 1n Pi i 1nPi i 1n Pi displaystyle neg left bigvee i 1 n P i right bigwedge i 1 n neg P i quad neg left bigwedge i 1 n P i right bigvee i 1 n neg P i が成り立つ 例 次の命題 私の身長は160cm以上であり かつ私の体重は50kg以上である の否定 すなわち 私の身長は160cm以上であり かつ私の体重は50kg以上である ではない は ド モルガンの法則によれば 次の命題と等しい 私の身長は160cm未満である または私の体重は50kg未満である 同じようにして このボールは青いか または赤い の否定は このボールは青くなく かつ赤くない になる 述語論理における法則D を空でない任意の対象領域とする 任意の 1 変数の述語 F D displaystyle F D to bot top に対して xF x x F x displaystyle neg forall x F x exists x neg F x xF x x F x displaystyle neg exists x F x forall x neg F x が成り立つ これをド モルガンの法則という D a1 a2 an displaystyle D a 1 a 2 cdots a n 有限集合 である場合は これは i 1nF ai i 1n F ai i 1nF ai i 1n F ai displaystyle neg left bigwedge i 1 n F a i right bigvee i 1 n neg F a i quad neg left bigvee i 1 n F a i right bigwedge i 1 n neg F a i と変形できる 例 F x を変数 x についての言明とすると 全ての x に対し F x の否定は ある x が存在して F x ある x が存在して F x の否定は 全ての x に対し F x と表現できる 具体例を挙げると 全ての人が冷蔵庫を持っている の否定は ある人は冷蔵庫を持っていない すなわち 冷蔵庫を持っていない人が少なくとも一人いる ある人が冷蔵庫を持っている すなわち 冷蔵庫を持っている人が少なくとも一人いる の否定は 全ての人が冷蔵庫を持っていない すなわち 誰ひとりとして冷蔵庫を持っていない などである また 後述するように部分否定や全否定の言い換えも述語論理におけるド モルガンの法則を表現していると考えられる 全否定と部分否定 全否定や部分否定をどう言い換えるかという問題は 述語論理における ド モルガンの法則が扱う問題と本質的には同じである 例えば x が本を表す変数として 本 x が好きだ という言明を A x と書くことにすると 肯定文 すべての本が好きだ は 全ての x に対し A x となる この文の部分否定 すべての本を好きだというわけではない は 全ての x に対し A x の否定であり ド モルガンの法則によって ある x に対し A x すなわち 好きでない本もある となる 全否定の文 すべての本が嫌いだ は 全ての x に対し A x と表せ ド モルガンの法則によって ある x に対し A x の否定 好きな本はない ということになる 束論における法則L を任意のブール代数とする 任意の x y L displaystyle x y in L に対して x y c xc yc displaystyle x cup y c x c cap y c x y c xc yc displaystyle x cap y c x c cup y c が成り立つ これをド モルガンの法則という al l L displaystyle a lambda lambda in Lambda を L の任意の部分集合とする supl Lal displaystyle textstyle sup lambda in Lambda a lambda が存在するとき infl Lalc displaystyle textstyle inf lambda in Lambda a lambda c も存在し supl Lal c infl Lalc displaystyle left sup lambda in Lambda a lambda right c inf lambda in Lambda a lambda c が成り立つ また infl Lal displaystyle textstyle inf lambda in Lambda a lambda が存在するとき supl Lalc displaystyle textstyle sup lambda in Lambda a lambda c も存在し infl Lal c supl Lalc displaystyle left inf lambda in Lambda a lambda right c sup lambda in Lambda a lambda c が成り立つ これをド モルガンの一般法則という 例 二元集合 L displaystyle L bot top をブール代数 displaystyle bot を最小元とすれば displaystyle top は最大元となる そのとき 最小元 displaystyle bot は偽な命題 最大元 displaystyle top は真な命題 結び は論理和 交わり は 論理積 補元 c は否定 を表すことになる そして ブール代数に関するド モルガンの一般法則から 命題論理に関するド モルガンの法則を導くことができる また 空でない任意の集合 対象領域 D を一つ固定して考えれば D から L への写像は 1 変数の述語となり 全称命題 x displaystyle forall x や存在記号 x displaystyle exists x を定義することができる そして ブール代数に関するド モルガンの一般法則から 述語論理に関するド モルガンの法則を導くことができる 直観主義論理における法則直観主義論理においてはド モルガンの法則は必ずしも成り立たない しかし 直観主義論理 LJ においても以下のシークエント計算は証明可能である A B A B displaystyle neg mathfrak A lor mathfrak B rightarrow neg mathfrak A land neg mathfrak B A B A B displaystyle neg mathfrak A land neg mathfrak B rightarrow neg mathfrak A lor mathfrak B A B A B displaystyle neg mathfrak A lor neg mathfrak B rightarrow neg mathfrak A land mathfrak B xF x x F x displaystyle neg exists x mathfrak F x rightarrow forall x neg mathfrak F x x F x xF x displaystyle forall x neg mathfrak F x rightarrow neg exists x mathfrak F x x F x xF x displaystyle exists x neg mathfrak F x rightarrow neg forall x mathfrak F x 集合論における法則一般的な集合の代数学では P Q P Q displaystyle overline P cup Q overline P cap overline Q P Q P Q displaystyle overline P cap Q overline P cup overline Q となる ただし は全体集合に対する補集合を表している ベン図を用いると第一式が正しいことが次のようにして分かる P Q displaystyle P cup Q P Q displaystyle overline P cup Q P displaystyle overline P Q displaystyle overline Q P Q displaystyle overline P cap overline Q 詳細は 差集合 ド モルガンの法則 を参照出典 a b c d e f g h i 前原 2010 参考文献前原 昭二 復刊 数理論理学序説 共立出版 2010年 ISBN 9784320019430 関連項目負論理 真理関数外部リンク世界大百科事典 ド モルガンの法則 コトバンク Weisstein Eric W de Morgan s Laws mathworld wolfram com 英語 Weisstein Eric W de Morgan s Duality Law mathworld wolfram com 英語, ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム、モバイル、電話、Android、iOS、Apple、携帯電話、Samsung、iPhone、Xiomi、Xiaomi、Redmi、Honor、Oppo、Nokia、Sonya、MI、PC、ウェブ、コンピューター